Liapunov Function

I googled "the appropriate Lyapunov function for an ODE lecture" and checked till page 2.

Here are some interesting links:

http://mechatronics.ece.usu.edu/ece7360/notes/7360w1a_overview_linear_algebra.pdf
http://www.ma.hw.ac.uk/~takis/probcourse06/notes/SS_LYAPUNOV.pdf
https://www.cds.caltech.edu/help/uploads/wiki/files/204/Lectures1-2_CDS270.pdf
https://www.cds.caltech.edu/help/uploads/wiki/files/178/Lecture1.pdf
http://www.nd.edu/~lemmon/courses/ee580/lecture-6.pdf

Tìm kiếm “thế giới ngầm” của Internet

Link

Nói đến tìm kiếm, phần lớn người dùng Internet nghĩ ngay đến Google, hoặc Yahoo, MSN.. Nhưng trên thực tế, những cỗ máy tìm kiếm đó chỉ cho bạn thấy một phần của toàn bộ những gì có trên Internet.

Các website sau đây có thể giúp bạn thâm nhập vào “thế giới ngầm” vốn thường không được các site lớn đưa vào danh mục website.

Dogpile - tổng hợp của 4 site tìm kiếm lớn nhất Internet (Google, MSN, Yahoo, Ask). Nếu bạn vô tình lạc vào một website nào đó và không bookmark, nhưng không thể quay lại trang đó khi tìm bằng Dogpile, chắc chắn site đó nằm ở “vùng tối” của thế giới ảo.

Địa chỉ: http://www.dogpile.com/

Clusty - site tìm kiếm này trả về danh sách kết quả tìm kiếm khá rối rắm, ngược lại với các “ông lớn” thường cố gắng khiến danh sách đó càng đơn giản càng tốt. Tuy nhiên, Clusty có lợi thế nhất định do site không tự động lọc bỏ các kết quả bị máy tính cho là “dư thừa”. Nếu có đủ thời gian và kiên nhẫn, khả năng lọc ra được những website “giấu mặt” là khá lớn.

Địa chỉ: http://clusty.com/

USA Library of Congress - site chuyên về tìm các tài liệu học thuật – cũng thường được site tìm kiếm chính thống bỏ qua do mang tính chuyên môn cao.

Địa chỉ: http://www.loc.gov/about

Nelson Search - website chuyên về tìm kiếm tin tức. Tất cả các sự kiện, tin tức được đưa tin trên web đều có thể tìm ra ở đây – một phiên bản “thô” chưa được lọc tin rác của Google News.

Địa chỉ: http://www.nelsonsearch.org/

Inute - công việc lên danh sách và tìm kiếm của Google được thực hiện hoàn toàn tự động nhờ các phần mềm gọi là bot. Người sử dụng dịch vụ thường xuyên cảm thấy chán ngán do bot không có khả năng lọc hàng núi “rác” vô nghĩa khỏi danh mục kết quả. Intute là bộ máy tìm kiếm duy nhất sử dụng danh sách website hoàn toàn do sức người lập nên, nhằm đảm bảo rằng các website vô nghĩa không bao giờ lọt vào danh sách kết quả tìm kiếm.

Địa chỉ: http://www.intute.ac.uk

AltaVista - AltaVista là cỗ máy tìm kiếm nổi tiếng nhất trước khi Google soán ngôi thống trị như ngày nay. Mặc dù “chìm nghỉm” dưới bóng các ông lớn, bộ máy tìm kiếm này vẫn hoạt động tốt và trả về kết quả tương tự với Clusty khi sử dụng.

Địa chỉ: http://www.altavista.com

Wayback Machine - một cỗ máy thời gian thực sự của thế giới web. Máy chủ của bộ máy tìm kiếm này lưu giữ toàn bộ các site đã có mặt trên Internet từ trước đến nay, và bạn có thể tìm thấy các site hiện giờ hoàn toàn không còn tồn tại bằng Wayback Machine. Vấn đề duy nhất khi sử dụng là bạn phải đưa ra được đường dẫn chính xác của website cần tìm!

Địa chỉ: http://www.archive.org/index.php

Bloglines (http://www.bloglines.com/) – Bộ máy tìm kiếm chuyên về blog. Các blog cá nhân có số người truy cập khá ít, và do đó thường bị các ông lớn nhét xuống dưới cùng danh sách kết quả tìm kiếm đôi khi lên đến vài chục ngàn kết quả. Một danh sách chỉ toàn blog hẳn sẽ dễ dàng hơn nhiều…

Địa chỉ: http://www.bloglines.com

Chú ý rằng phần lớn cái gọi là “thế giới ngầm của web” thường là các site có chất lượng quá thấp đến mức bị bot bỏ qua, các trang chủ cá nhân hoặc hồ sơ lưu của các forum. Thế giới này cũng bao gồm các thông tin bị số đông bỏ qua như thông tin học thuật – cần có chuyên môn nhất định để hiểu và sử dụng, và còn nhiều loại khác…

(24H.COM.VN - Theo Dân Trí)

English Vietnamese

Tôi không uống được rượu = Wine does not agree with me

How to sketch a vector field in Maple

Original text from UIC.

When is a Vector field a Gradient vector field?

Department of Mathematics, Statistics and Computer Science

University of Illinois at Chicago

by Paul Brown, Heidi Burgiel, Marc Culler, Heather Dye and John Wood

Copyright © 1999, The University of Illinois at Chicago

Maple is a registered trademark of Waterloo Maple Software

---

• Introduction
• Vector Fields
• Vector Fields in Maple
• Exercise 1
• Gradient Vector Fields
• Exercise 2
• Exercise 3
• Exercise 4

---

Introduction

The purpose of this lab is to impart a graphical understanding of the idea of a conservative vector field. You will learn how to use Maple to work with vectors and vector fields and you will learn a visual way of determining which vector fields could be gradient vector fields.

Vector Fields

A vector field is given by a function F that assigns a vector in the plane (or in n -dimensional space) to each point in the plane (or in n -dimensional space). In other words, F(x,y) specifies a direction and magnitude at each point (x,y) . Vector fields are commonly used to model natural and physical phenomena such as wind and water velocity, magnetic fields, electric fields, or gravitational forces. Of course, you are already familiar with many examples of vector fields - the gradient of any differentiable function is a vector field.

Given a vector valued function F(x,y) , we can write each component of F as a function:

F(x,y) = [F1(x,y), F2(x,y)]

where F1 and F2 are scalar functions like those we have been studying througout this course. We can visualize the values of F by imagining that attached to a point (x,y) in the plane is an arrow representing the vector F(x,y) .

Vector Fields in Maple

A vector field is described by a function that takes each point of the plane to a vector.

> with(linalg):

> F := (x,y) -> [-y,x];

We can evaluate this function at a point by plugging in values for x and y , just like we do with functions whose values are scalars.

> F(1,4);

To visualize the vector field generated by a function F , we choose some points (x,y) in the plane and draw the vectors F(x,y) with their "tails" at point (x,y) . If some vectors F(x,y) are very large, Maple will scale all the vectors it draws to make the vector field easier to understand. Below we use Maple to draw the vector field associated with the function F defined above.

> with(plots):

> fieldplot(F(x,y), x=-1..1, y=-1..1);

Exercise 1

Just as when plotting surfaces, it is important to choose your domain rectangle carefully. Use Maple to the vector valued function G(x,y) = [sin(y), cos(x)] . Look at this vector field on squares between .1 unit on a side to 100 units on a side. Choose the x - and y -ranges which give you the best picture of how the function behaves on the entire plane (too big, and you won't be able to see the details; too small and you'll only know the local behavior, not the global.) Sketch or print this vector field and turn it in.

Gradient Vector Fields

Taking the gradient of a function of two or more variables is much like taking the derivative of a function of one variable. So, as in one-variable calculus, it is natural to try to find "antiderivatives" for the vector fields. That is, we will start with a vector field F(x,y) and try to find a function f(x,y) such that F is the gradient of f . If such a function f exists, it is called a potential function for F .

Finding potential functions for vector fields is very different from the one variable problem. Any continuous function of one variable has an antiderivative (the "area under the curve") but most vector fields are not gradient vector fields.

Exercise 2

Decide whether the following statements are true or false:

a) (x^2 + y^2)/2 is a potential function for the vector field G1(x,y) = [x,y] .

b) The vector field given by G2(x,y) = [0,0] is the gradient vector field of a function whose graph is a horizontal plane.

Exercise 3

How is the gradient of a function of two variables similar to the derivative of a function of one variable? How is the gradient of a function of two variables different from the derivative of a function of one variable?

If a vector valued function F has a potential function f , we say that F is conservative . Before attempting to find a potential function for the field F , we would like to find out whether that is possible. Sometimes we can tell that a function is not conservative by looking at a plot of its vector field. The vector fields plotted below are all conservative -- i.e. each one is the gradient field of a function (can you guess the function?)

> fieldplot([2*x,0], x=-2..2, y=-2..2, grid=[12,12], arrows=SLIM, color=BLUE, scaling=CONSTRAINED);

> fieldplot([2*x, 2*y], x=-2..2, y=-2..2, grid=[12,12], arrows=SLIM, color=BLUE, scaling=CONSTRAINED);

> fieldplot([.9*x^2-1, 2*y], x=-2..2, y=-2..2, color=BLUE, arrows=SLIM, scaling=CONSTRAINED);

> fieldplot([1/(1+y^2), x*y/(1+y^2)^2], x=-2..2, y=-2..2, arrows=slim, color=BLUE, grid=[12,12], scaling=CONSTRAINED);

The next three plots are of vector fields that are not gradient fields for any function.

> fieldplot(F(x,y), x=-2..2, y=-2..2, color=BLUE, grid=[12,12], arrows=SLIM, scaling=CONSTRAINED);

> fieldplot([sin(y), cos(x)], x=-5..5, y=-5..5, arrows=SLIM, color=BLUE, scaling=CONSTRAINED);

> fieldplot([y^3-x^2+5,y-x^3-5], x=-3..1, y=-2..2, grid=[15,15], arrows=SLIM, color=BLUE, scaling=CONSTRAINED);

As you may have guessed, the big difference between conservative and non-conservative vector fields is that non-conservative vector fields each have a place where their vectors "swirl around".

In our discussion of finding maxima of functions using their gradient vectors, we said that the function's values increase as you follow the direction of the gradient vectors. In a non-conservative vector field, you might follow the direction of the vectors and end up back where you started! If you started at point (x,y) , this would lead you to conclude that any function f that had this vector field as a gradient vector field must have the property that f(x,y) > f(x,y) . Impossible!

Exercise 4

Which of the vector fields shown below are not conservative?

> fieldplot([-x/sqrt(x^2+y^2),-y/sqrt(x^2+y^2)], x=-2..2, y=-2..2, color=BLUE, arrows=SLIM, grid=[10,10], title=A, scaling=CONSTRAINED);

> fieldplot([y-x/2,-x-y/2], x=-2..2, y=-2..2, color=BLUE, arrows=SLIM, grid=[10,10], scaling=CONSTRAINED, title=B);

> fieldplot([y, x], x=-2..2, y=-2..2, color=BLUE, arrows=SLIM, grid=[10,10], scaling=CONSTRAINED, title=C);

> fieldplot([x^3+y-1, y^3-x], x=-1.5..1.5, y=-1.5..1.5, arrows=SLIM, color=BLUE, grid=[12,12], scaling=CONSTRAINED, title=D);

Intro to LaTeX

A Cornell Thesis LaTeX document class.

And more LaTeX reports and advanced topics here.

TeX and Sketching

A document about Scaling, rotating, clipping, wrap around and shadows.
A document about Facing floats on 2-page spread.
A document about Not in outer part mode.
A document about squeezing space in LaTeX.
A document about Including Adobe Illustrator and Power Point figures into LaTeX files.


And finally, A very short introduction to LaTeX: What's LaTeX all about?

How to add picture in TeX files

To add the picture in one single page, add the epsfig.sty pakage then add

\begin{figure}[t]

\centering

\includegraphics[keepaspectratio=true,height=1.6in,clip=true]{filename.eps}

\caption{tenhinh}

\end{figure}

(from anh Du*.)
More information about this from here.

Read this or this.
To add the picture in between the page, with a box surrounding, add the epsf.sty package then add

\epsfysize=2in

\begin{center}

\mbox{\epsfbox{filename.eps}}

\end{center}

or

\epsfysize=2in

\begin{center}

\epsffile{agreaterthan0.eps}

\end{center}

Without centering:

\epsfysize=2in

\epsffile{agreaterthan0.eps}

or

\epsfysize=2in

\mbox{\epsfbox{filename.eps}}

A useful package to change ps to eps can be obtained here.

Further help for LaTeX can be found The LaTeX Help Page.


One more trick: this time from Mr.Tung Le, add \includegraphics[0,0][400,300]{whatever.bmp}
More information can be read here.